数列综合应用

纵观近几年的成人高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关;数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.

●难点磁场

(★★★★★)已知二次函数y=f(x)在x= 处取得最小值- (t>0),f(1)=0.

(1)求y=f(x)的表达式;

(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]为多项式，n∈N*),试用t表示an和bn;

(3)设圆Cn的方程为(x-an)2+(y-bn)2=rn2，圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn为前n个圆的面积之和，求rn、Sn.

●案例探究

[例1]从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 .

(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式;

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入?

命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目.

知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.

错解分析：(1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和，易与“通项”混淆;(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差.

技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.

解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1- )万元，…第n年投入为800×(1- )n-1万元，所以，n年内的总投入为

an=800+800×(1- )+…+800×(1- )n-1= 800×(1- )k-1

=4000×[1-( )n]

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+ )，…，第n年旅游业收入400×(1+ )n-1万元.所以，n年内的旅游业总收入为

bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k-1= 400×( )k-1.

=1600×[( )n-1]

(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn-an>0，即：

1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0，令x=( )n，代入上式得：5x2-7x+2>0.解此不等式，得x< ，或x>1(舍去).即( )n< ，由此得n≥5.

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.