等差数列、等比数列

等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.成人高考中也一直重点考查这部分内容。

●难点磁场

(★★★★★)等差数列{an}的前n项的和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为_________.

●案例探究

[例1]已知函数f(x)= (x<-2).

(1)求f(x)的反函数f--1(x);

(2)设a1=1, =-f--1(an)(n∈N*),求an;

(3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N*,有bn< 成立?若存在，求出m的值;若不存在，说明理由.

命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，属★★★★★级题目.

知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题.

错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，(2)问以数列{ }为桥梁求an,不易突破.

技巧与方法：(2)问由式子 得 =4,构造等差数列{ },从而求得an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧;(3)问运用了函数的思想.

解：(1)设y= ,∵x<-2,∴x=- ,

即y=f--1(x)=- (x>0)

(2)∵ ，

∴{ }是公差为4的等差数列，

∵a1=1, = +4(n-1)=4n-3,∵an>0,∴an= .

(3)bn=Sn+1-Sn=an+12= ,由bn< ,得m> ,

设g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是减函数，

∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整数m=6,使对任意n∈N*有bn< 成立.