二元函数极值

考点1 极值存在的必要条件

设P₀(x₀,y₀)为x=f(x,y)的极值点，且z=f(x,y)在P₀(x₀,y₀)处的偏导存在，则必有fx(x₀,y₀)=0，fy(x₀,y₀)=0.

考点2 极值存在的充分条件

设函数x=f(x,y)在其驻点(x₀,y₀)的某个邻域内有二阶的连续偏导数，令A=fxx(x₀,y₀)，B=fxy(x₀,y₀)，C=fyy(x₀,y₀)，△=B²-AC，于是有

1.如果△<0，则点(x₀,y₀)是函数的极值点，且

当A<0时，f(x₀,y₀)是极大值;当A>0时，f(x₀,y₀)是极小值.

2.如果△>0，则点(x₀,y₀)不是函数的极值点.

3.如果△=0，则函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)有无极值不能确定，需用其他方法判别.

考点3 条件极值的求法

先构造拉格朗日函数：F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y).

求解方程组

Fx=fx(x,y)+λϕx(x,y)=0,

Fy=fy(x,y)+λϕy(x,y)=0,

Fλ=ϕ(x,y)=0.

解出x,y,λ，则其中(x,y)就是z=f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的可能极值点的坐标.