二阶常系数线性微分方程

考点一、二阶常系数线性齐次方程y'+py'+qy=0解的结构

若函数y₁,y₂为该方程两个线性无关的解，即y₁≠ky₂，则该方程的通解为y=C₁y₁+C₂y₂.

考点二、二阶常系数线性非齐次方程y”+py'+qy=f(z)解的结构

若y*为方程y”+py'+qy=f(x)的一个特解，ӯ=C₁y₁+C₂y₂为与其对应的齐次方程y”+py'+qy=0的通解，则y*+y为方程y”+py'+qy=f(x)的通解.

若y₁是方程y”+py'+qy=f1(x)的解，y₂是方程y”+py'+qy=f₂(x)的解，则y₁十y₂是方程y”+py'+qy=f₁(x)+f₂(x)的解.

考点三、二阶常系数线性齐次方程y”+py'+qy=0通解的求法

先写出与其对应的特征方程r²+pr+q=0.

1.若特征方程有两个不等实根r₁,r₂，则齐次方程的通解为ӯ=C₁eʳ1ˣ”+C₂er₂x.

2.若特征方程有一重根r，则齐次方程的通解为ӯ=(C₁x+C₂)eʳˣ.

3.若特征方程无实根，或者说有一对共轭复根r₁=α+iβ，r₂=α-iβ，则齐次方程的通解为ӯ=eᵃˣ(C₁cosβx+C₂sinβx) .

考点四、二阶常系数线性非齐次方程y”+py'+qy=f(x)通解的求法

1.先求出与其对应的齐次方程y”+py'+qy=0的通解y.

2.再求出非齐次方程的特解y*，则该方程的通解为y=ӯ+y*.

3.特解y*的求法

(1) 若f(x) =Pn(x) eᵃˣ， 则方程的特解可设为y*=xӯᴷQn(x) eᵃˣ，其中Qn(x)与Pn(x)是同次多项式，系数待定，且

k=0,α不是特征根，

k=1,α为单独特征根，

k=2,α为二重特征根.

(2) 若f(x)=eᵃˣ(Acosβx+Bsinβx)，则方程的特解可设为y*=xᴷeᵃˣ(A₁cosβx+B₁sinβx)。其中A₁，B₁为待定系数，且

k=0,a+iβ不是特征根，

k=1,a+iβ是特征根.

解题指导

二阶常系数线性微分方程的求解方法：

第一步：首先判断方程类型是否为二阶常系数线性微分方程.

第二步：若是，看是齐次，还是非齐次.

1.若是齐次的，应先写出特征方程：r²+pr+q=0，然后求特征根，由特征根构造方程的通解.

2.若是非齐次的，应先求出其对应的齐次方程的通解，然后构造非齐次方程的特解，最后由解的结构得到原非齐次方程的通解.