极值存在的必要和充分条件

考点一 极值存在的必要条件

设点P₀(x₀,y₀)为z=f(x,y)的极值点，且z=f(x,y)在点P₀(x₀,y₀)处的偏导存在，则必有fₓ(x₀,y₀)=0，fᵧ(x₀,y₀)=0.

考点二 极值存在的充分条件

设函数z=f(x,y)在其驻点(x₀,y₀)的某个邻域内有二阶的连续偏导数，令A=fₓₓ(x₀,y₀)，Bₓ(x₀,y₀)，C=fᵧᵧ(x₀,y₀)，△=B²-AC，于是有

(1)如果△<0，则点(x0,y0)是函数的极值点，且

当A<0时(x₀,y₀)是极大值;当A>0时，f(x₀,y₀)是极小值。

(2)如果△>0，则点(x₀,y₀)不是函数的极值点.

(3)如果△=0，则函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)有无极值不能确定，需用其他方法判别.

条件极值的求法

先构造拉格朗日函数：F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y).

求解方程组

Fₓ=fₓ(x,y)+λϕₓ(x,y)=0,

Fᵧ=fᵧ(x,y)+λϕᵧ(x,y)=0,

Fλ=ϕ(x,y)=0;

解出x,y,λ，则其中点(x,y)就是z=f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的可能极值点的坐标.

求二元函数的无条件极值及极值点

求二元函数的无条件极值的步骤：

第一步：求fₓ(x,y)，fᵧ(x,y)，并解方程组fₓ(x,y)=0;fᵧ(x,y)=0求得一切驻点;

第二步：对于每一个驻点(x₀,y₀)，求出二阶偏导数的值A，B和C;

第三步：定出B²-AC的符号，判定点(x₀,y₀)是否是极值点，若是，判定是极大值点还是极小值点，并求出极值f(x₀,y₀).

求二元函数的条件极值

求二元函数f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的极值的方法与步骤：

方法一：化条件极值为无条件极值

第一步：从条件ϕ(x,y)=0中，求出y的显函数形式y=ψ(x);

第二步：将y=ψ(x)代人二元函数f(x,y)中，化为一元函数f[x,ψ(x)]的无条件极值;

第三步：求出一元函数f[x,ψ(x)]的极值即为所求.

方法二：拉格朗日乘数法

第一步：作拉格朗日函数F(x,y,λ)=f(x,y)+λϕ(x,y)(入为拉格朗日乘数);

第二步：由函数F(x,y,λ)的一阶偏导数组成如下方程组

Fₓ(x,y,λ)=fₓ(x,y)+λϕₓ(x,y)=0,

Fᵧ(x,y,λ)=fᵧ(x,y)+λϕᵧ(x,y)=0,

Fλ(x,y,λ)=ϕ(x,y)=0;

第三步：求解上述方程组，得驻点(x₀,y₀,λ)，则点(x₀,y₀)就是函数f(x,y)在条件ϕ(x,y)=0下的可能的条件极值点.

通常，判定所得点(x₀,y₀)是否为所给问题的条件极值点，常依据问题的实际意义判定：如果所求驻点唯一，且实际问题的确存在最大值(或最小值)，那么，所求点(x₀,y₀)就是满足条件的极大值点(或极小值点)，也是所给实际问题的最大值点(或最小值点).